Пусть в параллелограмме ABCD AF – биссектриса угла А, тогда треугольник ABF – равнобедренный (AB =BF).
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке F. Найдите периметр этого параллелограмма, если BF = 15, FС = 9.
В параллелограмме ABCD биссектрисы ВМ и СМ пересекаются в точке М, лежащей на стороне AD. Найдите стороны AB и AD, если периметр параллелограмма равен 24.
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса AF угла А, пересекающая прямую ВС в точке F. Длины отрезков BF и СF равны 15 и 5 соответственно. Найдите периметр параллелограмма.
В параллелограмме ABCD середины E и F сторон BC и AD соединены с вершинами. Доказать, что диагонали параллелограмма точками пересечения делятся на три равные части.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Доказать.
МЕТРИЧЕСКОЕ СООТНОШЕНИЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Пусть треугольник ABС – прямоугольный, С = 90°, ВС = а, АС = b, AB = c, CH = h – высота треугольника, a и b – катеты, с – гипотенуза.
Длины сторон треугольника равны √5, √6, √7. Найти площадь треугольника, в ответе указать √26 ∙ S.
Площадь ромба равна 600, а одна из его диагоналей равна 30. Найти высоту ромба.
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В РАВНОБЕДРЕННОЙ ТРАПЕЦИИ
Пусть ABCD – равнобедренная трапеция, AB = CD, AD = а, BC = b (a > b), BH AD, CF AD, MN – средняя линия, S – площадь, h – высота.
Боковые стороны равнобедренной трапеции при их продолжении пересекаются под прямым углом. Найти длину большего основания трапеции, если её площадь равна 12, а высота равна 2.
Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны S1 и S2.
В трапеции, основания которой равны a и b, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции.
В прямоугольном треугольнике ABC (С = 90°) медиана СМ пересекает биссектрису ВК в точке D, при этом BD = 8 и DK = 3. Найти длину гипотенузы АВ.
ТРАПЕЦИЯ
Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 6. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найти другую диагональ.
В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. Доказать.
В равнобедренной трапеции ABCD длина боковой стороны равна 14√3, длина основания AD равна 56√3, а угол А при основании равен 60°, О – точка пересечения диагоналей, а К – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Найти длину отрезка КО.
Хорды AC и BD окружности перпендикулярны и пересекаются в точке Р. РН – высота в треугольнике ADP. Угол ADP равен 30°, АН = 2, РС = 6. Найти отношение площади треугольника ADС к площади треугольника АВС.
В равнобедренном треугольнике ABC основание АВ является диаметром окружности, которая пересекает боковые стороны АС и СВ в точках D и Е соответственно. Найти периметр треугольника ABC и его площадь, если AD = 2, АЕ = 8/3.
В треугольнике ABC проведены высоты AD и BF, пересекающиеся в точке О. Требуется доказать, что углы ODF и OCF равны.
Около треугольника ABC с углами 50° и 66° описана окружность. Найти углы треугольника, вершинами которого являются точки пересечения касательных к окружности в точках A, B, C.
Радиус окружности равен r. Из точки М проведена секущая МВ, проходящая через центр окружности, и касательная МА, причем МВ = 2 МА. Найти, на каком расстоянии от центра окружности находится точка М.
В треугольнике ABC: АС = 20, С = 30°. Через точки А и В проведена окружность, касающаяся стороны ВС и пересекающая АС в точке М. Найти отношение AM : MC, если расстояние от точки В до АС равно 5.
В треугольнике MTK медиана ML пересекает медиану TN в точке Р. Найти площадь треугольника MTK, если площадь четырехугольника NPLK равна 7.
Докажите, что высота треугольника ABC, проведенная к стороне AC, в 3 раза больше соответствующей высоты треугольника AОC, где О – точка пересечения медиан треугольника ABC.
Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Найти площадь треугольника.
Найти основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60.
В равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 10, и основанием, равным 6, вписана окружность. Найти расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами треугольника.
Пусть ABCD – квадрат, О – его центр; а – сторона квадрата, d – его диагональ; r – радиус вписанной окружности; R – радиус описанной окружности.
Пусть треугольник ABC – равносторонний, О – его центр, АВ = ВС = АС = а.
Пусть треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом С; ВС = а, АС = b, АВ = с; а и b – катеты; с – гипотенуза, mc – медиана, проведенная к гипотенузе; r – радиус вписанной окружности; R – радиус описанной окружности.
Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9.
Пусть ABCD – ромб, О – точка пересечения его диагоналей; а – сторона ромба, d1 и d2 – его диагоналей; h – высота, r – радиус вписанной окружности; а – острый угол.
Пусть ABCD – равнобедренная трапеция, АВ = CD, AD = a, BC = b (a > b), h – высота, BH AD, MN – средняя линия, r – радиус.
Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 2. Найти площадь трапеции, если косинус угла при большем основании трапеции равен 0,6.
На основании АС равнобедренного треугольника ABC расположена точка D так, что AD = a и CD = b. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M и N соответственно. Найти отрезок MN.
Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов боковой стороны на расстояния 8 см и 4 см. Найти среднюю линию трапеции.
Диагональ АС четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырехугольника. Вычислить длины сторон четырехугольника, если АС = 4 см, CD = 2√2 см, ВАС : CAD = 2 : 3.