Ключевые задачи. Геометрия 8

Пусть в параллелограмме ABCD AF – биссектриса угла А, тогда треугольник ABF – равнобедренный (AB =BF).

ЗАДАЧА 1

         Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке F. Найдите периметр этого параллелограмма, если BF = 15, FС = 9.

ЗАДАЧА 2

         В параллелограмме ABCD биссектрисы ВМ и СМ пересекаются в точке М, лежащей на стороне AD. Найдите стороны AB и AD, если периметр параллелограмма равен 24.

ЗАДАЧА 3

         В параллелограмме ABCD проведена биссектриса AF угла А, пересекающая прямую ВС в точке F. Длины отрезков BF и СF равны 15 и 5 соответственно. Найдите периметр параллелограмма.

ЗАДАЧА 4

         В параллелограмме ABCD середины E и F сторон  BC и AD соединены с вершинами. Доказать, что диагонали параллелограмма точками пересечения делятся на три равные части.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

ЗАДАЧА 5

          В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Доказать.

МЕТРИЧЕСКОЕ СООТНОШЕНИЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

ЗАДАЧА 6

Пусть треугольник ABС – прямоугольный, С = 90°, ВС = а, АС = b, AB = c, CH = h – высота треугольника, a и b – катеты, с – гипотенуза.

ЗАДАЧА 7

     Длины сторон треугольника равны √5, √6, √7. Найти площадь треугольника, в ответе указать √26 ∙ S.

ЗАДАЧА 8

     Площадь ромба равна 600, а одна из его диагоналей равна 30. Найти высоту ромба.

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В РАВНОБЕДРЕННОЙ ТРАПЕЦИИ

ЗАДАЧА 9

         Пусть ABCD – равнобедренная трапеция, AB = CD,  AD = а, BC = b (a > b), BH  AD, CF  AD, MN – средняя линия, S – площадь, h – высота.

ЗАДАЧА 10

         Боковые стороны равнобедренной трапеции при их продолжении пересекаются под прямым углом. Найти длину большего  основания трапеции, если её площадь равна 12, а высота равна 2.

ЗАДАЧА 11

         Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны S₁ и S_2.

ЗАДАЧА 12

         В трапеции, основания которой равны a и b, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции.

ЗАДАЧА 13

         В прямоугольном треугольнике ABC (С = 90°) медиана СМ пересекает биссектрису ВК в точке D, при этом BD = 8 и DK = 3. Найти длину гипотенузы АВ.

ТРАПЕЦИЯ

ЗАДАЧА 14

         Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

ЗАДАЧА 15

         Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 6.  Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найти другую диагональ.

ЗАДАЧА 16

         В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. Доказать.

ЗАДАЧА 17

         В равнобедренной трапеции ABCD длина боковой стороны равна 14√3, длина основания AD равна 56√3, а угол А при основании равен 60°, О – точка пересечения диагоналей, а К – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Найти длину отрезка КО.

ЗАДАЧА 18

         Хорды AC и BD окружности перпендикулярны и пересекаются в точке Р. РН – высота в треугольнике ADP. Угол ADP равен 30°, АН = 2, РС = 6. Найти отношение площади треугольника ADС к площади треугольника АВС.

ЗАДАЧА 19

         В равнобедренном треугольнике ABC основание АВ является диаметром окружности, которая пересекает боковые стороны АС и СВ в точках D и Е соответственно. Найти периметр треугольника ABC и его площадь, если AD = 2, АЕ = 8/3.

ЗАДАЧА 20

         В треугольнике ABC проведены высоты AD и BF,  пересекающиеся в точке О. Требуется доказать, что углы ODF и OCF равны.

ЗАДАЧА 21

         Около треугольника ABC с углами 50° и 66° описана окружность. Найти углы треугольника, вершинами которого являются точки пересечения касательных к окружности в точках A, B, C.

ЗАДАЧА 22

         Радиус окружности равен r. Из точки М проведена секущая МВ, проходящая через центр окружности, и касательная МА, причем МВ = 2 МА. Найти, на каком расстоянии от центра окружности находится точка М.

ЗАДАЧА 23

         В треугольнике ABC: АС = 20, С = 30°. Через точки А и В проведена окружность, касающаяся стороны ВС и пересекающая АС в точке М. Найти отношение AM : MC, если расстояние от точки В до АС равно 5.

ЗАДАЧА 24

         В треугольнике MTK медиана ML пересекает медиану TN в точке Р. Найти площадь треугольника MTK, если площадь четырехугольника NPLK равна 7.

ЗАДАЧА 25

         Докажите, что высота треугольника ABC, проведенная к стороне AC, в 3 раза больше соответствующей высоты треугольника AОC, где О – точка пересечения медиан треугольника ABC.

ЗАДАЧА 26

         Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Найти площадь треугольника.

ЗАДАЧА 27

         Найти основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60.

ЗАДАЧА 28

         В равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 10, и основанием, равным 6, вписана окружность. Найти расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами треугольника.

ЗАДАЧА 29

         Пусть ABCD – квадрат, О – его центр; а – сторона квадрата, d – его диагональ; r – радиус вписанной окружности; R – радиус описанной окружности.

ЗАДАЧА 30

         Пусть треугольник ABC – равносторонний, О – его центр, АВ = ВС = АС = а.

ЗАДАЧА 31

         Пусть треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом С; ВС = а, АС = b, АВ = с; а и b – катеты; с – гипотенуза, m_c – медиана, проведенная к гипотенузе; r – радиус вписанной окружности; R – радиус описанной окружности.

ЗАДАЧА 32

         Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9.

ЗАДАЧА 33

         Пусть ABCD – ромб, О – точка пересечения его диагоналей; а – сторона ромба, d₁ и d₂ – его диагоналей; h – высота, r – радиус вписанной окружности; а – острый угол.

ЗАДАЧА 34

         Пусть ABCD – равнобедренная трапеция,  АВ = CD, AD = a, BC = b (a > b), h – высота, BH  AD, MN – средняя линия, r – радиус.

ЗАДАЧА 35

         Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 2. Найти площадь трапеции, если косинус угла при большем основании трапеции равен 0,6.

ЗАДАЧА 36

         На основании АС равнобедренного треугольника ABC расположена точка D так, что AD = a и CD = b. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M  и N соответственно. Найти отрезок MN.

ЗАДАЧА 37

         Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов боковой стороны на расстояния 8 см и 4 см. Найти среднюю линию трапеции.

ЗАДАЧА 38

         Диагональ АС четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырехугольника. Вычислить длины сторон четырехугольника, если АС = 4 см, CD = 2√2 см, ВАС : CAD = 2 : 3.