Опорные дидактические единицы: треугольник; вершины; стороны; сторона, противолежащая углу; угол, противолежащий стороне; угол, прилежащей к стороне; сторона, прилежащаяя к углу.

 

Треугольник - часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Точки - это вершины треугольника (обозначаются заглавными латинскими буквами - A, B, C).

Отрезки - стороны треугольника (длины сторон обозначаются латинскими буквами - a, b, c). Обозначение сторон треугольника - AB, BC, AC.

Величины углов противолежащие сторонам при соответственных вершинах - греческими буквами α, β, γ.

 

Треугольник называется остроугольным, если у него все углы острые (каждый из углов меньше 90°).

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. Стороны, между которыми прямой угол, называются катетами.

Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.

 

Опорные дидактические единицы: медиана; биссектриса; высота; средняя линия; серединный перпендикуляр.

 

   Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противолежащей стороны.

   Биссектрисой треугольника называется называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной. Биссектрисой угла называется луч, исходящий из его вершины, проходящий между его сторонами и делящий данный угол пополам.

   Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

   Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

   Серединным перпендикуляром называется прямая, проведенная перпендикулярно к стороне треугольника через её середину.

a, b, c - длины сторон треугольника;

m_a - медиана треугольника к стороне а;

h_a - высота треугольника к стороне а;

n_a - биссектриса треугольника к стороне а.

 

Опорные дидактические единицы: высота; точка пересечения высот треугольника или их продолжений; ортоцентр.

 

Опорные дидактические единицы: медиана треугольника; центр масс треугольника; равновеликие треугольники.

 

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противолежащей стороны.

a, b, c - длины сторон треугольника; m_a - медиана треугольника к стороне а; m_b- медиана треугольника к стороне b; m_c - медиана треугольника к стороне c.

 

Опорные дидактические единицы: биссектриса угла; биссектриса угла треугольника; центр вписанной окружности; пропорциональные отрезки.

 

   Биссектрисой угла называется луч, исходящий из его вершины, проходящий между его сторонами и делящий данный угол пополам.

   Биссектрисой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противолежащей стороны.

   Обозначения:

a, b, c - длины сторон треугольника;

n_a - биссектриса треугольника к стороне а;

n_b - биссектриса треугольника к стороне b;

n_c - биссектриса треугольника к стороне c.

 

 

   Теорема. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон данного угла.

   Обратная теорема. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.

 

   Отрезки a и b называются пропорциональными соответственно отрезкам m и n, если .

   Теорема. Биссектриса треугольника делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

   Теорема. Биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрисс треугольника является центром вписанной окружности в данный треугольник. 

Теорема. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, исходящие из одной вершины, перпендикулярны.

 

Формулы для вычисления бисссектрис:

         

 

Опорные дидактические единицы: средняя линия треугольника.

 

   Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

   В любом треугольнике можно провести 3 средние линии.

 

 

 

 

   Свойства средней линии треугольника.

   Теорема 1. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема 2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, ему подобный, площадь которого составляет четверть от площади исходного.

 

Опорные дидактические единицы: серединный перпендикуляр к отрезку; центр описанной окружности вокруг треугольника; точка пересечения серединных перпендикуляров.

 

   Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

   Теорема. Любая точка серединного перпендикуляра, проведённого к отрезку, равноудалена от его концов. 
   Обратная теорема. Если точка плоскости равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре, проведённом к этому отрезку. 

 

   Теорема. Три серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке.

   И эта точка называется центром описанной окружности вокруг треугольника.

 

Замечательные геометрические конструкции, помогающие в решении задач

 

 

Опорные дидактические единицы: равные фигуры; равные треугольники; соответственные стороны и углы; признаки равенства треугольников.

 

   Фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

   Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. 
   Если треугольник АВС равен треугольнику MNK, то это означает, что элементы одного треугольника (углы, стороны) соответственно равны элементам другого треугольника. И записывают это так: ∆ABC = ∆MNK. 
   Запись ∆ABC = ∆MNK означает, что 

АВ = MN, BC = NK, AC = MK. 

 

Опорные дидактические единицы: треугольник; внешний угол треугольника; сумма углов треугольника; неравенство треугольника.

 

Опорные дидактические единицы: треугольник; радиус описанной окружности; теорема синусов; теорема косинусов; синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника; решение треугольников.