Треугольник называется остроугольным, если у него все углы острые (каждый из углов меньше 90°).
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. Стороны, между которыми прямой угол, называются катетами.
Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.
Треугольник называется разносторонним, если у него все стороны различны.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием.
Треугольник называется равносторонним (правильным), если у него все стороны равны.
Основные линии в треугольнике: высоты, биссектрисы, медианы, средние линии, серединные перпендикуляры
Опорные дидактические единицы: медиана; биссектриса; высота; средняя линия; серединный перпендикуляр.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противолежащей стороны.
Биссектрисой треугольника называется называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной. Биссектрисой угла называется луч, исходящий из его вершины, проходящий между его сторонами и делящий данный угол пополам.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Серединным перпендикуляром называется прямая, проведенная перпендикулярно к стороне треугольника через её середину.
Обозначения:
a, b, c - длины сторон треугольника;
ma - медиана треугольника к стороне а;
ha - высота треугольника к стороне а;
na - биссектриса треугольника к стороне а.
Высоты треугольника
Опорные дидактические единицы: высота; точка пересечения высот треугольника или их продолжений; ортоцентр.
Проведение высот в различных видах треугольников.
Остроугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник
Теорема. Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке.
Эту точку называют ортоцентром треугольника.
На рисунке Р – ортоцентр.
Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника. Основания высот – точки K, L, M.
Так как высотами к катетам являются соответственно другие катеты прямоугольного треугольника, то вершина прямого угла - точка пересечения высот треугольника.
Теорема. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема. Продолжения трёх высот тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке.
На рисунке - точка Р.
Полезные геометрические конструкции для решения сложных задач
Теорема. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Теорема. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных данному.
Геометрическая конструкция для тупоугольного треугольника
Медианы треугольника
Опорные дидактические единицы: медиана треугольника; центр масс треугольника; равновеликие треугольники.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противолежащей стороны.
Обозначения:
a, b, c - длины сторон треугольника; ma - медиана треугольника к стороне а; mb- медиана треугольника к стороне b; mc - медиана треугольника к стороне c.
Полезные геометрические конструкции и теоремы для решения задач
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и в этой точке делятся 2:1, считая от вершины.
Эта точка всегда находится внутри треугольника и называется центром масс треугольника.
Теорема. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Теорема. Медианы пересекаются в одной точке и делят треугольник на 6 равновеликих треугольника.
Фигуры называются равновеликими, если их площади равны.
Биссектрисой угланазывается луч, исходящий из его вершины, проходящий между его сторонами и делящий данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противолежащей стороны.
Обозначения:
a, b, c - длины сторон треугольника;
na- биссектриса треугольника к стороне а;
nb - биссектриса треугольника к стороне b;
nc - биссектриса треугольника к стороне c.
Свойства биссектрис треугольника
Теорема. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон данного угла.
Обратная теорема. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
Отрезки a и b называются пропорциональными соответственно отрезкам m и n, если .
Теорема. Биссектриса треугольника делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Теорема. Биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрисс треугольника является центром вписанной окружности в данный треугольник.
Теорема. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, исходящие из одной вершины, перпендикулярны.
Формулы для вычисления бисссектрис:
Средняя линия треугольника
Опорные дидактические единицы: средняя линия треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
В любом треугольнике можно провести 3 средние линии.
Свойства средней линии треугольника.
Теорема 1. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
Теорема 2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, ему подобный, площадь которого составляет четверть от площади исходного.
Серединные перпендикуляры к сторонам
Опорные дидактические единицы: серединный перпендикуляр к отрезку; центр описанной окружности вокруг треугольника; точка пересечения серединных перпендикуляров.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
Теорема. Любая точка серединного перпендикуляра, проведённого к отрезку, равноудалена от его концов. Обратная теорема. Если точка плоскости равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре, проведённом к этому отрезку.
Теорема. Три серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке.
И эта точка называется центром описанной окружности вокруг треугольника.
Замечательные геометрические конструкции, помогающие в решении задач
Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.
Центр, окружности описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Равные треугольники
Опорные дидактические единицы: равные фигуры; равные треугольники; соответственные стороны и углы; признаки равенства треугольников.
Фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. Если треугольник АВС равен треугольнику MNK, то это означает, что элементы одного треугольника (углы, стороны) соответственно равны элементам другого треугольника. И записывают это так: ∆ABC = ∆MNK. Запись ∆ABC = ∆MNK означает, что АВ = MN, BC = NK, AC = MK.
Признаки равенства треугольников
I признак (по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
II признак (по стороне и прилежащим к ней двум углам)
Если сторона и прилежащие к ней два угла одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
III признак (по трём сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Свойства равных треугольников
В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.
И обратно: в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.
Замечательные геометрические конструкции, помогающие в решении задач
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два равных треугольника.
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
Теорема. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника).
Теорема. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Определение вида треугольника по его сторонам.
Теорема. Против большей (меньшей) стороны треугольника лежит больший (меньший) угол. И обратно: против большего (меньшего) угла треугольника лежит большая (меньшая) сторона. Теорема. Против равных сторон треугольника лежат равные углы. Верно и обратное утверждение.
Теорема. В любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла есть величина постоянная и равна двум радиусам описанной окружности вокруг данного треугольника.
Теорема косинусов
Теорема. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон, умноженного на косинус угла между ними.
Треугольник - часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противолежащей стороны.
Биссектрисой угла называется луч, исходящий из его вершины, проходящий между его сторонами и делящий данный угол пополам.
.
Формулы для вычисления бисссектрис:
Фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
